Pregunta 10 Primer ejercicio turno libre Técnicos de Hacienda, examen para los infectados de covid

Estoy mirando el ejercicio número 10 del primer ejercicio de turno libre para los infectados de covid y tengo dudas. Dice así:

La función de utilidad de un consumidor viene dada por la expresión u = x2 (cuadrado) y, siendo su renta de 90 um.
Explique y represente gráficamente las siguientes situaciones. ¿Son accesibles al consumidor? ¿El consumidor maximiza su utilidad?

a. La cantidad consumida es de x = 2. Precio de x = 30 um.
La cantidad consumida del bien y = 3. Precio de y = 10 um.

b. El precio del bien x aumenta a 45 um, manteniéndose el resto de valores constantes.

En primer lugar lo he representado gráficamente. He puesto en el eje de ordenadas el bien y y en el eje de abscisas el bien x. He trazado una recta con 3 unidades de y y dos unidades de x. Después he hecho una curva de maximización de la utilidad que toque a la recta (no sé si eso está bien).
He dicho que la primera situación es accesible al consumidor y consume toda su renta, ya que:
(2 * 30) + (3 * 10) = 90 um
En la segunda situación, el consumidor gastaría toda su renta si consume 2 unidades de x, o bien podría optar por consumir una unidad de x y 3 unidades de y, en cuyo caso le sobrarían 5 um de renta.
Después he dicho que la función de maximización de utilidad es 2xy (no sé si eso está bien). Pero no sé muy bien cómo se responde si el consumidor maximiza su utilidad o no. Gracias de antemano.

No perdón, no me he expresado bien. Quería decir que la función de utilidad es U = x2y, siendo el 2 un cuadrado. Gracias de todas formas.

Hola, alvarsan.

Para comprobar si se maximiza la utilidad del consumidor debes igualar lo siguiente:

UMgX/UMgY=Px/Py

Recuerda que el consumidor maximiza su utilidad en el punto de intersección de la curva de indiferencia y la recta de balance.

Operando esa igualdad queda que:

X= (2Y*Py)/Px

Si esa ecuación la sustituimos en la ecuación de la recta de balance y hacemos las operaciones correspondientes obtenemos que las unidades de Y son 3 y las de X son 2. Con estas unidades el consumidor maximiza su utilidad y precisamente coinciden con las que plantea el supuesto.

Por tanto, podemos concluir que la situación que plantea el apartado a) es accesible y maximiza la utilidad.

En el apartado b) cabría decir que al aumentar Px en 45 u.m se trata de un punto inaccesible situado a la derecha de la recta presupuestaria y no maximizaría la utilidad para ese nivel de renta.

Un saludo.

¡Muchas gracias por la respuesta! Pero hay algo que no me queda claro.
Tenemos que UMgx/UMgy = Px/Py
Derivamos y queda 2xy = Px/Py
2xyPy = Px
x = Px/(2yPy)
(A no ser que haya derivado mal o algo así. que no me acuerdo mucho de esto).
En cualquier caso, en lo que planteas tú:
x = (2yPy)/Px
Haríamos:
2 = (2*3*10)/30 = 2
Al ser los dos extremos iguales, se maximiza la utilidad, ¿es esa la respuesta?

alvarsan wrote: ¡Muchas gracias por la respuesta! Pero hay algo que no me queda claro.
Tenemos que UMgx/UMgy = Px/Py
Derivamos y queda 2xy = Px/Py
2xyPy = Px
x = Px/(2yPy)
(A no ser que haya derivado mal o algo así. que no me acuerdo mucho de esto).
En cualquier caso, en lo que planteas tú:
x = (2yPy)/Px
Haríamos:
2 = (2*3*10)/30 = 2
Al ser los dos extremos iguales, se maximiza la igualdad, ¿es esa la respuesta?

La función de Utilidad total es: U=X^2*Y

UMgX= 2XY
UMgY= X^2

Maximizamos la utilidad:

2XY/X^2 = Px/Py ; De ahí si despejas X queda que: X= (2Y*Py)/Px (ecuación (1))

Esa ecuación la sustituyes en la ecuación presupuestaria (M= X*Px + Y*Py) y quedaría lo siguiente:

M=((2Y*Py)/Px)*Px + Y*Py; M= 3Y*Py; Y= M/3Py

Si ahí sustituyes los valores que plantea el supuesto da como resultado que Y son 3 u.f.

Para obtener X sustituimos en la ecuación (1) con el valor que hemos obtenido de Y y obtenemos que X= 2 u.f

Un saludo y suerte que ya queda poco!

Y para el supuesto de px=45, la utilidad máxima que cumple con la restricción presupuestaria se daría con x= 1,3 (periodo) ¿sí?

Buah ahora sí, entiendo que como sustituyendo en las ecuaciones nos dan los mismos datos en unidades físicas que plantea el supuesto, podemos decir que se maximiza la utilidad. ¡Pero vaya tela para saber hacer esto en el examen!
Una última duda, en el apartado b no dice que Px aumente en 45 um, sino que aumenta A 45 um. ¿No podría maximizarse la utilidad adquiriendo 2 unidades de x y 0 unidades de y? En ese caso, consumiría toda su renta, que es de 90 um.
¡Pero mil gracias en cualquier caso!

También se podría hacer de manera más sencilla, ¿no?
Tenemos que:
2xy/x^2 = Px/Py
Al sustituir:
(2*2*3)/2^2 = 30/10
3 = 3
Al igualarse ambos extremos podemos decir que se maximiza la utilidad, ¿no?

alvarsan wrote: Buah ahora sí, entiendo que como sustituyendo en las ecuaciones nos dan los mismos datos en unidades físicas que plantea el supuesto, podemos decir que se maximiza la utilidad. ¡Pero vaya tela para saber hacer esto en el examen!
Una última duda, en el apartado b no dice que Px aumente en 45 um, sino que aumenta A 45 um. ¿No podría maximizarse la utilidad adquiriendo 2 unidades de x y 0 unidades de y? En ese caso, consumiría toda su renta, que es de 90 um.
¡Pero mil gracias en cualquier caso!

Ten en cuenta que la máxima utilidad es el punto de tangencia entre la curva de indiferencia y la recta de balance. Y que las curvas de indiferencia (salvo para bienes sustitutivos) nunca cortan los ejes de coordenadas.

Es decir que nunca vas a considerar x=0 o y=0

ok no había caído en eso, gracias otra vez